Verberg uitwerking

Nummer de knikkers van 1 tot en met 12. Voer vervolgens de volgende wegingen uit:

• Eerste weging: knikkers 1, 2, 3, 4 tegen de knikkers 5, 6, 7, 8.
• Tweede weging: knikkers 1, 5, 9, 10 tegen de knikkers 2, 3, 8, 11.
• Derde weging: knikkers 1, 2, 6, 9 tegen de knikkers 3, 7, 10, 12.

Je hebt nu voldoende informatie om te bepalen welke knikker je zoekt en of hij lichter of zwaarder is. Om dat aan te tonen moet je door alle mogelijkheden heen lopen. Bij elk resultaat van deze drie wegingen mag maar één uitkomst horen.
Neem eerst aan dat de eerste weging niet in balans was. De combinatie 1, 2, 3, 4 was dan bijvoorbeeld zwaarder dan 5, 6, 7, 8 (NB: de omgekeerde situatie gaat net zo). In dat geval is de gezochte knikker 1, 2, 3 of 4 en zwaarder, of 5, 6, 7 of 8 en lichter. Omdat de knikkers 9 tot en met 12 nu zeker correct zijn, wordt weging 2 eigenlijk 1, 5, 9 tegen 2, 3, 8. Weging 3 wordt 1, 2, 6 tegen 3, 7, 10.
Kijk nu hoe de tweede weging de mogelijkheden verder inperkt. Als de combinatie 1, 5, 9 zwaarder is dan 2, 3, 8 zijn er twee mogelijkheden: 1 is zwaarder of 8 is lichter. Welke van deze mogelijkheden het geval is volgt uit weging 3. Als 2, 3, 8 zwaarder is dan 1, 5, 9 dan is 2 of 3 zwaarder of is 5 lichter. Omdat weging 3 knikker 2 met knikker 3 vergelijkt, maar daarbij niet knikker 5 betrekt, geeft weging 3 opnieuw uitsluitsel.
Ten slotte is nog de mogelijkheid dat de combinatie 1, 5, 9 in balans is met 2, 3, 8. Die situatie doet zich voor als 6 of 7 lichter is of als 4 zwaarder is. Ook in dit laatste geval geeft weging 3 precies de ontbrekende informatie.
Je bent nu bijna klaar, maar om de uitwerking compleet te maken moet je nog uitzoeken wat er gebeurt als de eerste weging in balans zou zijn geweest. Dan moet de afwijkende knikker nummer 9, 10, 11 of 12 zijn. De tweede en derde weging komen dan neer op 9, 10 tegen 8, 11 en 6, 9 tegen 10, 12.
Als de combinatie 9, 10 zwaarder is dan 8, 11 dan is de gezochte knikker 9 of 10 en zwaarder, of 11 en lichter. Als 8, 11 zwaarder is dan 9, 10 dan is de gezochte knikker 9 of 10 en lichter, of 11 en zwaarder. In beide situaties geeft weging 3 uitsluitsel. Uiteindelijk bestaat de mogelijkheid nog dat 9, 10 in balans is met 8, 11. In dat geval is de afwijkende knikker nummer 12. Of hij lichter of zwaarder is, moet uit weging 3 blijken.

Dit is de hele uitwerking. Maar hoe kom je er nou aan? Een manier is door tijdens het wegen goed in de gaten te houden hoe veel informatie je al hebt, en hoe veel je nog nodig hebt. Elke van de drie wegingen kent drie mogelijke uitkomsten. In totaal kunnen deze wegingen hoogstens 3 x 3 x 3 = 27 mogelijke gevallen onderscheiden. Er zijn 24 gevallen (namelijk 12 knikkers die elk zwaarder of lichter kunnen zijn) dus dat gaat nog goed. Veronderstel eens dat je als eerste weging 1, 2, 3, 4, 5, 6 vergelijkt met 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Je kunt inzien dat die weging niet tot een goede oplossing kan leiden. Stel dat de eerste groep zwaarder is: dat kan als een van de knikkers 1, 2, 3, 4, 5, 6 zwaarder is of doordat een van de knikkers 7, 8, 9, 10, 11, 12 lichter is. In totaal zijn er dan dus nog 12 gevallen over. Maar de resterende twee wegingen kunnen slechts 3 x 3 = 9 gevallen onderscheiden. Dat gaat dus nooit meer lukken.
Met dit soort argumenten kun je zien dat alleen starten met 4 knikkers tegen 4 knikkers goed uit kan komen. Ook voor de tweede weging blijkt dat er maar weinig combinaties zijn die werken.
De oplossing is overigens niet uniek, andere combinaties van de knikkers werken ook.

Naar: digidagboek.blogspot.com/2003_10_01_digidagboek_archive.html

Doel

• redeneren;
• strategie ontwikkelen;
• notatiesysteem bedenken.

Extra informatie
Het probleem kun je differentiëren door van tevoren aan te geven dat de afwijkende knikker lichter is dan de rest van de knikkers. (Zwaarder kan natuurlijk ook.) Hierdoor wordt het weegproces gemakkelijker.
Differentiatie is ook mogelijk door het woord ‘minimaal’ uit de opgave te laten en vervolgens te kijken wie van de groep het kleinste aantal keren wegen nodig heeft. Samen praten over de verschillende werkwijzen leidt tot verdieping.